જો  ${a_2},{a_3} \in R$ એવા છે કે જેથી $\left| {{a_2} - {a_3}} \right| = 6$ અને  $f\left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{{a_3}}&{{a_2}}\\
1&{{a_3}}&{2{a_2} - x}\\
1&{2{a_3} - x}&{{a_2}}
\end{array}} \right|,x \in R.$ હોય તો $f(x)$ ની મહત્તમ કિમત મેળવો.

ધારો કે $R_*$ તમામ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. સાબિત કરો કે વિધેય $f: R_* \rightarrow R_*,$ $f(x)=\frac{1}{x}$ વડે વ્યાખ્યાયિત વિધય $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે. જો પ્રદેશ $R_*$ ના બદલે $N$ લેવામાં આવે અને સહપ્રદેશ $R_*$ જ રહે તો શું આ પરિણામ સત્ય રહેશે ?

ધારોકે $f: R \rightarrow R$ એ કોઈ $m$ માટે વ્યાખ્યાયિત એવુ વિધેય છે કે જયાં $f(x)=\log _{\sqrt{m}}\{\sqrt{2}(\sin x-\cos x+m-2)\}$ અને $f$ નો વિસ્તાર $[0,2]$ છે. તો $m$ નું મૂલ્ય $.........$ છે.

અહી  $[x]$ એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે. જો વાસ્તવિક વિધેય $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\frac{[\mathrm{x}] \mid-2}{\sqrt{[\mathrm{x}] \mid-3}}}$ નો પ્રદેશ $(-\infty, \mathrm{a}) \cup[\mathrm{b}, \mathrm{c}) \cup[4, \infty), \mathrm{a}\,<\,\mathrm{b}\,<\,\mathrm{c}$, હોય તો  $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}$ ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે $\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ એ નીચે આપેલ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે.

$f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y), f\left(\frac{1}{2}\right)=-1 $ તો  $\sum_{\mathrm{k}=1}^{20} \frac{1}{\sin (\mathrm{k}) \sin (\mathrm{k}+\mathrm{f}(\mathrm{k}))}$ ની કિમંત મેળવો.

વિધેય $f(x) = \;[x]\; - x$ નો વિસ્તાર મેળવો.